С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}$  означает расстояние между точками ${\displaystyle x_{1}}$  и ${\displaystyle x_{2}}$  и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы^[2].

Вещественные числа править

• Область определения: ${\displaystyle (-\infty ;+\infty ).}$ 
• Область значений: ${\displaystyle [0;+\infty ).}$ 
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке ${\displaystyle x=0}$  функция претерпевает излом.

Комплексные числа править

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: ${\displaystyle [0;+\infty ).}$ 
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$  имеют место следующие соотношения:

• ${\displaystyle \ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}}$  (sgn — функция знака);
• ${\displaystyle -|a|\leqslant a\leqslant |a|;}$ 
• квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ${\displaystyle |a|^{2}=a^{2}.}$ 

Как для вещественных, так и для комплексных ${\displaystyle a,b}$  имеют место соотношения:

• модуль любого числа равен либо больше нуля: ${\displaystyle |a|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle |a|=0}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=0;}$ 
• модули противоположных чисел равны: ${\displaystyle |{-a}|=|a|;}$ 
• модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ${\displaystyle |ab|=|a||b|;}$ 
  • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ${\displaystyle |ab|=a|b|,\quad a>0;}$ 
• модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}};}$ 
• ${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$  (неравенство треугольника);
• ${\displaystyle |a-b|\leqslant |a|+|b|;}$ 
• ${\displaystyle |a|-|b|\leqslant |a+b|;}$ 
• ${\displaystyle |a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};}$ 
• ${\displaystyle |a^{k}|=|a|^{k},}$  если ${\displaystyle a^{k}}$  существует.

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ${\displaystyle \|x\|}$ . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство